¿Cuándo aplicar teorema del cateto, Pitágoras o razones trigonométricas?

Operaciones con ángulos en sistema sexagesimal.

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Prueba Saber

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Actividades

ACTIVIDADES GUIA No.  1

1.    Haciendo uso del CABRI:

a.    Represente un ángulo agudo de 75°, un ángulo recto, un ángulo obtuso de 127°, el complemento del ángulo 39° y el suplemento del ángulo 141°.

b.    Trace la bisectriz del ángulo suplementario de 120°

c.    Represente un ángulo positivo en posición normal con lado terminal ubicado en el tercer cuadrante.

2.    En un triángulo se conocen dos de sus ángulos. Determina el valor del tercero, sabiendo que A = 36º 0' 12''; B = 48º 36' 54''.

3.    Ejercicio de práctica utilizando la calculadora:  

a.    Expresar en radianes los siguientes ángulos en grados: 60°, 128°, 340°

b.    Expresar en radianes los siguientes ángulos en grados: 3/5 π, 5/7 π, 3 π

4.    Complete las siguiente tabla:

Radianes	Grados
π/6
π/4
	130°
3 π/5
	225°

5.    Ejemplo para discusión: Halla en radianes la medida de un ángulo central θ opuesto a la longitud de un arco s de un círculo de radio r, donde s y r están dados a continuación:

  s = 8 pulgadas; r = 4 pulgadas

  s = 24 centímetros; r = 8 centímetros

6.    ¿Cuál es la medida de un ángulo central θ opuesto a un arco de 60 pies en un círculo de radio de 12 pies?

7. Aplicando los teoremas del cateto y el teorema de Pitágoras, resolver los siguientes problemas:
1. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 156 cm y 65 cm.
2. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 64 m y 225 m respectivamente. Halla la longitud de los tres lados del triángulo.
3. Halla la altura de un trapecio isósceles, sabiendo que sus bases miden 6 m y 16 m y los lados oblicuos 13 m cada uno de ellos.
4. Determinar el radio del círculo inscrito en un triángulo isósceles de base 32 cm y altura 30 cm.

8. En un triángulo rectángulo, los lados se representan con las letras a, b y c, siendo siempre c la hipotenusa. Los vértices del triángulo se representan con las letras A, B y C, siendo C el vértice del ángulo recto, B el ángulo opuesto del lado b y C el ángulo opuesto del lado c. Usando la definición de las razones trigonométricas involucradas en cada caso, calcula el lado que se pide:
1. a = 40 m        B = 30º. Hallar b.
2. a = 40 cm      B = 30º. Hallar c.

c.    a = 12 dm      C = 60º. Hallar b.

d.   a = 12 Hm     C = 60º. Hallar c.

9. Halla la altura de una antena de radio si su sombra mide 100 m cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 30º con la horizontal.

10. Halla los ángulos de un triángulo isósceles cuya base mide 50 cm y los lados iguales 40 cm cada uno.

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¿Cuáles son los sistemas de medición de ángulos?

¿Cuáles son los sistemas de medición de ángulos?

Así como los segmento se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se miden comúnmente en grados o radianes.

Medición en radianes: Si el vértice de un ángulo θ está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del arco opuesto a  θ en la circunferencia es s, entonces θ medido en radianes está dado por:

Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la misma longitud que el radio del círculo.  Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades. Además, θ se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como medida del ángulo.

Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que se miden la longitud del arco y el radio se eliminan, por tanto, queda un número sin unidades.

Conversión entre grados y radianes:

La conversión de grados a radianes y de radianes a grados está basado en:

180° = π rad

 Para cambiar  radianes a grados  y grados a radianes usamos las siguientes fórmulas:

Usando la calculadora: También podemos hacer la conversión de grados a radianes y de radianes a grados con la calculadora.  Veamos los pasos a seguir dependiendo del tipo de calculadora. Para cambiar  radianes a grados:

Ejemplo: 5 radianes a grados

Calculadora científica	Calculadora gráfica
- Seleccionar el modo “radianes” con la tecla [DRG]. - Entrar el número 5. - Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta obtener el modo de “grados”. - La respuesta es 286.50	- Seleccionar el modo “grados con las teclas [MODE],[ENTER],[Exit]. - Entrar al menú [Math]. - Elegir <Angle>. - Entrar el número 5. - Elegir <r> y oprimir [ENTER]. - La respuesta es  286.50

Para cambiar grados a radianes:

 Ejemplo: 75⁰ a radianes

Calculadora científica	Calculadora gráfica
- Seleccionar el modo de “grados” con la tecla [DRG]. - Entrar el número 75. - Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta obtener el modo de “radianes”. - La respuesta es 1.31	- Seleccionar el modo ”radianes” con las teclas [MODE],[ENTER],[EXIT]. - Entrar al menú [Math] - Elegir <Angle> - Entrar el número 75. - Elegir <o> y oprimir [ENTER]. - La respuesta es 1.31

Se entiende por sistemas de medición angular a la clase de mediciones sobre un arco de circunferencia. Son un concepto básico en el estudio de la trigonometría, para comprender estos sistemas se debe saber el concepto de ángulo trigonométrico. En este sistema de medición angular utilizamos el ángulo como posición de vértice en ángulo C. Por ejemplo: el ángulo C es un vértice 0 que se suma a la circunferencia de C+A que llega a un total de C+A= 360º

Ángulo trigonométrico: Es una figura formada por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo (llamado vértice), desde una "posición inicial" llamado lado inicial, hasta una "posición final" denominado lado final (o lado terminal). Este ángulo puede superar el orden de los 360º a diferencia del ángulo geométrico. Existen variedades y deficiones del ángulo trigonométrico.

·         Ángulo positivo: El rayo gira en sentido antihorario"

·         Ángulo negativo: El rayo gira en sentido horario.

·         Ángulo nulo: El rayo no gira.

·         Ángulo de una vuelta: El rayo gira 360º.

·         Ángulo de dos vueltas: Dos rayos "720º".

·         Ángulo de tres vueltas: "1080".

Sistemas de medición angular:

·         Sistema Internacional: Es un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados abarcan un arco de longitud igual al radio de la circunferencia; en este sistema se le conoce como medida angular unidad el radián, con abreviatura rad. Se utiliza en geometría, cálculos y análisis matemático, por ejemplo en sistema de coordenadas polar, etc.

·         Sistema sexagesimal: Sistema de 360º, su unidad es el grado sexagesimal (º), cada grado a su vez se divide en 60 partes iguales llamados minutos (´), y estos a su vez se dividen en 60 partes iguales llamados segundos (")

·         Sistema centesimal: Sistema de 400 grados, su unidad es el grado centesimal (^g).

Sistemas de Medición de Ángulos:

En la medida de ángulos, y por lo tanto en trigonometría, se emplean cuatro unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el radian la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, en arquitectura  o en construcción.

• Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
• Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
• Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
• Horario: su unidad de medida es el ángulo de 1 hora, que equivale a la sexta parte del ángulo recto.

www.youtube.com/watch?v=SpUs9oGNbAU&hd=1

¿Cuándo un ángulo está representado en posición normal?

Ahora continuaremos el estudio de la trigonometría con el concepto ángulos y sus medidas.  Un ángulo θ es un conjunto de puntos  que consiste de un punto P y dos rayos que se extienden desde P.  El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son los lados del ángulo.  El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo,  rayo s, se llama rayo terminal del ángulo.  El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición terminal. 

Una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 3).  El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está limitada.  Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales (Figura 2), estos ángulos se llaman ángulos coterminales.

                                   Figura 1                Figura 2                 Figura 3             

¿Cómo se clasifican los ángulos y cuáles son sus propiedades?

Cómo se clasifican los ángulos y cuáles son sus propiedades?

Ángulo Recto

Cuando a un ángulo se le divide en varios ángulos consecutivos, las medidas de dichos ángulos suman 90º.

Ángulo giro: Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (360⁰).  Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (1⁰).  El símbolo “⁰” denota grados.

Propiedad del Ángulo de una vuelta

Las medidas de los ángulos consecutivos que completan una vuelta suman 360º.

Ángulo llano: Es un ángulo que mide 180⁰.  Un ángulo recto es un ángulo que mide 90⁰.  Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90⁰.  Un ángulo obtuso es un ángulo que mide mayor de 90⁰ pero menor que 180⁰.   Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo.

Propiedad del Ángulo Llano

Cuando a un ángulo llano se le divide en varios ángulos consecutivos, las medidas de dichos ángulos suman 180º.

Teorema: Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo que mide 90º.
www.youtube.com/watch?v=WspWaAajNnw&hd=1

Ángulo agudo: Cuando la amplitud de su ángulo es 0° < θ < 90°

Ángulo obtuso: Cuando la amplitud de su ángulo es 90° < θ < 180°

Ángulo convexo: Es el que mide menos de π rad. Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0^g y menos de 200^g centesimales).

Ángulo cóncavo: Es el que mide más de π rad y menos de 2 π rad. Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200^g y menos de 400^g centesimales).